Question

19．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A的坐標(biāo)為（-1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點代入拋物線的解析式中列方程組可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（2）根據(jù)解析式分別表示M、N兩點的坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)的差就是MN的長，配方后求最值即可；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)點P在線段OB上時，則有MN=-m²+3m，
②當(dāng)點P不在線段OB上時，則有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
根據(jù)MN=3列方程解出即可．

解答 解：（1）∵拋物線過A、C兩點，
∴代入拋物線解析式可得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-\\;b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0可得，-x²+2x+3=0，解x₁=-1，x₂=3，
∵B點在A點右側(cè)，
∴B點坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，
把B、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{s=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+3；

（2）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標(biāo)為m，
∴M（m，-m²+2m+3），N（m，-m+3），
∵P在線段OB上運動，
∴M點在N點上方，
∴MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，MN有最大值，MN的最大值為$\frac{9}{4}$；

（3）∵PM⊥x軸，
∴MN∥OC，
當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，
當(dāng)點P在線段OB上時，則有MN=-m²+3m，
∴-m²+3m=3，此方程無實數(shù)根，
當(dāng)點P不在線段OB上時，則有MN=-m+3-（-m²+2m+3）=m²-3m，
∴m²-3m=3，解得m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、平行四邊形的判定以及一元二次方程的解法，此題將線段的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，同時還采用了分類討論的方法解決問題．