Question

14．（1）如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則點B恰好落在點A處，得到旋轉(zhuǎn)后的△AED，則AC、BC、CD滿足的數(shù)量關(guān)系式是AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的長．
（3）如圖3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）先判斷出E、A、C三點共線，再用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△CDE是等腰直角三角形，代換即可得出結(jié)論；
（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；
（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D₁，由（2）問題可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD₁；又因為CD₁=D₁D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度；

解答 解：（1）將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三點共線，
∴∠CAE為平角，
由旋轉(zhuǎn)知，AE=BC，DE=CD，∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵CE=AE+AC=BC+AC，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
故答案為：AC+BC=$\sqrt{2}$CD；

（2）連接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
將△BCD繞點D，順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖③，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三點共線，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵BC=AE，
∴CE=AE+AC=17，
∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，
即∠EDC=∠ADB=90°，
∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D₁，
連接D₁A，D₁B，D₁C，如圖④
由（2）的證明過程可知：AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，
∴D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
又∵D₁D是⊙O的直徑，
∴∠DCD₁=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB²=m²+n²，
∴D₁D²=AB²=m²+n²，
∵D₁C²+CD²=D₁D²，
∴CD=m²+n²-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$；

點評 此題圓的綜合題，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，解本題的關(guān)鍵是就利用得出的結(jié)論來進(jìn)行解決問題．