Question

7．如圖1，已知△ABC，小明以AB，AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，經(jīng)測量，小明發(fā)現(xiàn)BE=CD．

（1）數(shù)學思考：如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？說明你的理由；
（2）數(shù)學應(yīng)用：運用前兩題所積累的知識與經(jīng)驗，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；
（2）在△ABC外側(cè)，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長．

解答 解：（1）結(jié)論：BE=CD．
理由：如圖2中，∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（2）如圖3中，在△ABC外側(cè)，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100 $\sqrt{2}$米，連接CD，則由題意可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100 $\sqrt{2}$米，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{10{0}^{2}（100\sqrt{2}）^{2}+}$=100 $\sqrt{3}$米，
則BE=CD=100 $\sqrt{3}$米．

點評 此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．