Question

17．如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：

①當(dāng)x=1時，點P是正方形ABCD的中心；
②當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變
④當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是$\frac{11}{4}$．
其中正確的是①③（寫出所有正確判斷的序號）．

Answer 1

分析 （1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時，重合點P是BD的中點，即點P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=$\frac{3}{4}$AC，同理得出GH=$\frac{1}{4}$AC，從而得出結(jié)論．
（3）六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．
（4）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值．

解答 解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴當(dāng)AE=1時，重合點P是BD的中點，
∴點P是正方形ABCD的中心；
故①結(jié)論正確，

（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AC}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{EF}{2\sqrt{2}}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
同理，GH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，
∴EF+GH=2$\sqrt{2}$=AC
故②錯誤．

（3）∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 $\sqrt{2}$=4+2 $\sqrt{2}$．
故六邊形AEFCHG周長的值不變，
故③結(jié)論正確．

（4）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-△EBF的面積-△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=2²-$\frac{1}{2}$•BE•BF-$\frac{1}{2}$•GD•HD=4-$\frac{1}{2}$×（2-x）•（2-x）-$\frac{1}{2}$•x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，
故④結(jié)論錯誤，
故答案為：①③．

點評 考查了翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強，有一定的難度．