Question

2．如圖，AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，DE=CB．
（1）求證：四邊形DEBC是矩形．
（2）若△ABC是等邊三角形，BC=4，EB=2，求AD²的值．
（3）某班的清潔區(qū)形如五邊形ADCBE，值日生李拼、張博兩人必須在規(guī)定時(shí)間內(nèi)打掃完畢，若李拼單獨(dú)完成需12分鐘，張博單獨(dú)完成需15分鐘．張博打掃6分鐘后，李拼加入一起打掃，兩人恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，求規(guī)定時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）借助已有的條件先證明△ADC≌△AEB，得出DC=EB，從而斷定四邊形DEBC為平行四邊形，再由邊角關(guān)系去證明∠EDC=90°即可得出結(jié)論；
（2）作輔助線AN∥CD，由于△ABC是等邊三角形，從而可以得出直角三角形AMD中的兩直角邊，根據(jù)勾股定理即可求得；
（3）巧妙的假設(shè)總清掃量為1，由已知即可找到規(guī)定的時(shí)間．

解答 （1）證明：∠DAB=∠DAC+∠BAC，∠EAC=∠EAB+∠BAC，
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC與△EAB中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴DC=EB，∠ADC=∠AEB，
∵DE=CB，
∴四邊形DEBC是平行四邊形（兩組對(duì)邊相等），
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
又∵∠ADC=∠AEB，且∠EDC=∠ADC-∠ADE，∠DEB=∠AEB-∠AED，
∴∠EDC=∠DEB，
∵四邊形DEBC是平行四邊形，
∴∠EDC+∠DEB=180°（平行四邊形同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∴∠EDC=∠DEB=90°，
∴四邊形DEBC是矩形．
證畢．
（2）解：過(guò)點(diǎn)A做AN∥CD，交DE于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)，如圖：

∵四邊形DEBC是矩形，AM∥CD，
∴AM⊥DE，AN⊥BC，DM=CN，
∵△ABC是等邊三角形，BC=4，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=2，AB=AC=BC=4，
∴AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵CD=BE=MN=2，AM=AN-MN，
∴AM=2$\sqrt{3}$-2，
由AM⊥DE可知：AD²=AM²+DM²=AM²+CN²=20-8$\sqrt{3}$，
答：AD²的值為20-8$\sqrt{3}$．
（3）解：設(shè)該班的清潔區(qū)總工作量為1，那么李拼每分鐘打掃$\frac{1}{12}$、張博每分鐘打掃$\frac{1}{15}$，
由題意可知打掃時(shí)間為6+（1-$\frac{1}{15}$×6）÷（$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{15}$）=6+$\frac{9}{15}$÷$\frac{9}{60}$=6+4=10（分鐘），
故規(guī)定的時(shí)間為10分鐘．

點(diǎn)評(píng) 本題考查到了矩形的判定定理，勾股定理，等邊三角形三線合一問(wèn)題已經(jīng)巧設(shè)方程，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，熟練的利用各大定理．