Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，點P為△ABC內(nèi)一點，PA=2，PB=

5

，PC=2

3

-1．求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計算題

分析：由于AB=AC，∠BAC=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△ACD，作PH⊥AD于D，如圖，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)AD=AP=2，∠PAD=30°，CD=BP=

5

，∠ADC=∠APB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠ADP=75°；在Rt△APD中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PH=

1

2

AP=1，AH=

3

PH=

3

，則HD=AD-AH=2-

3

，再在Rt△PDH中，根據(jù)勾股定理計算出PD²=8-4

3

，而在△CPD中由于PD²+CD²=PC²，則根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PCD為直角三角形，∠PDC=90°，所以∠ADC=∠ADP+∠PDC=165°，于是有∠APB=165°．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△ACD，作PH⊥AD于D，如圖，
∴AD=AP=2，∠PAD=30°，CD=BP=

5

，∠ADC=∠APB，
∴∠ADP=

1

2

（180°-30°）=75°，
在Rt△APD中，PH=

1

2

AP=1，AH=

3

PH=

3

，
∴HD=AD-AH=2-

3

，
在Rt△PDH中，PD²=PH²+HD²=1²+（2-

3

）²=8-4

3

，
在△CPD中，∵PD²=8-4

3

，CD²=（

5

）²=5，PC²=（2

3

-1）²=13-4

3

，
∴PD²+CD²=PC²，
∴△PCD為直角三角形，∠PDC=90°，
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=165°，
∴∠APB=165°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．