Question

設(shè)r₁和r₂分別是相切兩圓的半徑，同時也是關(guān)于x的方程x²+px+2=0的兩個實數(shù)根，若這兩個圓的圓心距為4，求r₁和r₂的值．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到r₁+r₂=-p，r₁•r₂=2，再利用兩圓相切的性質(zhì)求解：當兩圓外切時，r₁+r₂=4，先求出p=-4，則方程化為x²-4x+2=0，然后解一元二次方程得到r₁和r₂的值；當兩圓內(nèi)切時，|r₁-r₂|=4，兩邊平方后利用完全平方公式變形得到（r₁+r₂）²-4r₁r₂=16，則p²-4×2=16，解得p=2

6

（舍去）或p=-2

6

，則方程化為x²-2

6

x+2=0，然后解方程得到r₁和r₂的值．

解答：解：根據(jù)題意得r₁+r₂=-p，r₁•r₂=2，
當兩圓外切時，r₁+r₂=4，則-p=4，解得p=-4，方程化為x²-4x+2=0，解得x₁=2+

2

，x₂=2-

2

；
當兩圓內(nèi)切時，|r₁-r₂|=4，則（r₁-r₂）²=16，即（r₁+r₂）²-4r₁r₂=16，所以p²-4×2=16，解得p=2

6

（舍去）或p=-2

6

，方程化為x²-2

6

x+2=0，解得x₁=

6

+

2

，x₂=

6

-

2

；
所以r₁和r₂的值為2+

2

，x₂=2-

2

或

6

+

2

，

6

-

2

．

點評：本題考查了圓和圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為d、兩圓半徑分別為R，r，若兩圓外離?d＞R+r；兩圓外切?d=R+r；兩圓相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；兩圓內(nèi)切?d=R-r（R＞r）；兩圓內(nèi)含?d＜R-r（R＞r）．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．