Question

20．關于x的方程（k-1）x²-2kx+k+1=0．
（1）求k為何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）求k為何值時，方程兩個實數根中，一根是另一根的3倍．

Answer 1

分析 （1）由關于x的方程（k-1）x²-2kx+k+1=0有兩個不相等的實數根，聯(lián)立根的判別式＞0及二次項系數非0可得出關于k的一元二次不等式組，解不等式組即可得出k的取值范圍；
（2）由方程的求根公式表示出兩個根，結合一根是另一根的3倍得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1≠0}\\{^{2}-4ac＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k-1≠0}\\{（-2k）^{2}-4（k-1）（k+1）＞0}\end{array}\right.$，
解得：k≠1．
∴當k≠1時，方程有兩個不相等的實數很；
（2）（k-1）x²-2kx+k+1=0，
解得：x₁=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=1，x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{k+1}{k-1}$．
∵方程兩個實數根中，一根是另一根的3倍，
∴$\frac{k+1}{k-1}$=3，或者$\frac{k+1}{k-1}$=$\frac{1}{3}$，
解得：k=2，或k=-2．
∴當k為-2或2時，方程兩個實數根中，一根是另一根的3倍．

點評 本題考查了根的判別式、解一元一次方程、解一元二次不等式組以及求根公式，解題的關鍵是：（1）找出關于k的一元二次不等式組；（2）由求根公式表示出來兩根．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，結合根的判別式以及二次項系數非0得出不等式組是關鍵．