Question

13．已知拋物線y=$\frac{1}{a}{x}^{2}+（\frac{2}{a}-1）x-2$（a＞0）與x軸交于A、B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側．
（1）若拋物線過點D（2，-2），求實數(shù)a的值．
（2）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點E，使AE+CE最小，求出點E的坐標．
（3）在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點M，使得以A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點D坐標代入拋物線解析式中即可；
（2）用兩點之間線段最短，確定出AE+CE最小時，點E的位置即可；
（3）分兩種情況同理計算，當∠MAB=∠ABC時，△ABM∽△BCA，由k_AM=k_BC，建立方程得出M（a+2，2+$\frac{8}{a}$），
再由相似三角形得出比例式建立方程求解即可；當∠MAB=∠BAC時，即：△ABM∽△ACB，由k_AC•k_AM=-1，
得出M（2a，2a+2），再用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線過點D（2，-2），
∴$\frac{1}{a}$×4+（$\frac{2}{a}$-1）×2-2=-2，
∴a=4，
（2）如圖1，

∵點A，B是拋物線與x軸的交點，
∴點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，
∴連接BC交對稱軸于點E，
∵a=4，
拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2，
∴點C（0，-2），B（4，0），對稱軸x=1，
∴CB解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E（1，-$\frac{3}{2}$）；
（3）如圖2，

由（2）有，拋物線解析式為y=$\frac{1}{a}{x}^{2}+（\frac{2}{a}-1）x-2$=$\frac{1}{a}$（x+2）（x-a），
∴A（-2，0），B（a，0），C（0，-2），
∴AB=a+2，AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
設M（m，$\frac{1}{a}$（m-a）（m+2））；
①當∠MAB=∠ABC時，△ABM∽△BCA，
∴k_AM=k_BC，
∴$\frac{\frac{1}{a}（m-a）（m+2）}{m+2}=\frac{2}{a}$，
∴m=a+2，
∴M（a+2，2+$\frac{8}{a}$），
∵△ABM∽△BCA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BM}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{4+（2+\frac{8}{a}）^{2}}}{2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1=0$，
∴a²+2a+4=0，
∵△=4-16＜0，
∴此方程無解，
∴此種情況不存在；
②當∠MAB=∠BAC時，即：△ABM∽△ACB，
∵A（-2，0），C（0，-2），
∴∠BAC=45°，直線AC解析式為y=-x-2，
∴AC⊥AM，
∴k_AC•k_AM=-1，
∵k_AC=-1，
∴k_AM=1，
∴$\frac{\frac{1}{a}（m-a）（m+2）}{m+2}=1$，
∴m=2a，
∴M（2a，2a+2），
∵△ABM∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
∴AB²=AC•AM，
∴（a+2）²=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{（2a+2）^{2}+（2a+2）^{2}}$=4（2a+2），
∴a²-4a-4=0，
∴a=2+2$\sqrt{2}$或a=2-2$\sqrt{2}$（由于點M在第一象限，所以舍去）
綜合上述，a=2+2$\sqrt{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法確定解析式，函數(shù)中的最值問題，點的存在問題，確定出函數(shù)解析式是解本題的關鍵，點的存在問題的分析是本題的難點．計算量比較大．