Question

如圖所示，邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為2的圓上，頂點C、D在該圓內(nèi)，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),弧長的計算

專題：

分析：作輔助線，首先求出∠D′AB的大小，進而求出旋轉(zhuǎn)的角度，利用弧長公式問題即可解決．

解答：解：如圖，分別連接OA、OB、OD′、OC、OC′；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=60°；
同理可證：∠OAD′=60°，
∴∠D′AB=120°；
∵∠D′AB′=90°，
∴∠BAB′=120°-90°=30°，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知∠C′AC=∠B′AB=30°；
∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，
∴∠ABC=90°，AC=

22+22

=2

2

，
∴當(dāng)點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為：

30π×2 2

180

=

2 π

3

．
故答案為：

2 π

3

．

點評：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，準(zhǔn)確求出旋轉(zhuǎn)角．