Question

13．閱讀下面材料，并解決問題：
問 題：如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為6，8，10，求∠APB的度數(shù)？
分 析：由于PA，PB，PC不在同一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′和△ABP全等，這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中從而求出∠APB的度數(shù)．
應(yīng) 用：（1）請(qǐng)你按上述方法求出圖1中∠APB的度數(shù)
（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：如圖2，已知△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，從而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得證；

解答 （1）解：∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，
由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PA P′=60°，
∴△AP P′為等邊三角形，
P P′=AP=3，∠A P′P=60°，
易證△P P′C為直角三角形，且∠P P′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；

（2）證明：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F²=CE′²+FC²，
即EF²=BE²+FC²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．