Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，EF⊥EC交AD于點F，連接CF（AD＞AE），下列結論：
①∠AEF=∠BCE；   ②S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；
③AF+BC＞CF；     ④若

BC

CD

=

3

2

，則△CEF≌△CDF．
其中正確的結論是

 

．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,矩形的性質

專題：

分析：延長CB，F(xiàn)E交于點G，易證∠AEF=∠BCE，可得①正確；
即可證明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，即可求得S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，可得②正確；
可得AF+BC=CF，即可得③錯誤；
易證∠BCE=30°，即可證明△CEF≌△CDF，可得④正確，即可解題．

解答：解：延長CB，F(xiàn)E交于點G，

∵∠AEF+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，①正確；
在△AEF和△BEG中，

∠FAE=∠GBE=90° AE=BE ∠AEF=∠BEG

，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴AF=BG，EF=EG，
∵CE⊥EG，
∴S_△CEG=S_△CEF，CG=CF，
∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，②正確；
∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，③錯誤；
∵

BC

CD

=

3

2

，
∴∠BCE=30°，∴∠FCE=∠FCD=30°，
在△CEF和△CDF中，

∠D=∠FEC=90° ∠DCF=∠ECF CF=CF

，
∴△CEF≌△CDF（AAS），④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△AEF≌△BEG和△CEF≌△CDF是解題的關鍵．