Question

7．△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，O為AC的中點，將等邊△OEF的頂點放在點O處，OE、OF分別交AB、BC于點M、N．
（1）如圖1，當(dāng)BM=BN，求證：OM=ON．
（2）如圖2，若△OEF的邊長為6，M為OE的中點，點G在邊EF上，點H在邊OF上，將FGH沿著GH折疊，使點F落在△OEF內(nèi)部一點F′處，F(xiàn)′H所在直線垂直EO于Q，F(xiàn)′Q=QO，QH=$\sqrt{3}$QO，求MQ的長．
（3）將圖1中的△OEF繞O點順時針旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，寫出線段BM，BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，可求得∠A=∠C，AO=CO，BM=BN，根據(jù)全等三角形的判定，即可證明△AOM≌△CON，則結(jié)論得證；
（2）根據(jù)Rt△OHQ中，∠EOF=60°，可用含OQ的式子表示出OH，即可表示出FH，根據(jù)$QH=\sqrt{3}OQ$，F(xiàn)′Q=OQ，用含OQ的式子表示出F′H，根據(jù)題意，可知FH=F′H，列出方程，即可求得OQ，則可求得MQ；
（3）取AB得中點G，連接OG，根據(jù)直角三角形的中線定理，及30°的直角三角形的性質(zhì)，證得OQ=OB，根據(jù)∠GOB=∠MON=60°，證得∠GOM=∠NOB，根據(jù)全等三角形的判定，即可證明GM=BN，即可證得BM、BN、AB的關(guān)系．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰三角形，O是中點，
∴∠A=∠C，AO=CO，AB=BC，
又∵BM=BN，
∴AB-BM=BC-BN，
即AM=CN，
在△AOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{0A=0C}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON；
（2）解：∵△FGH沿著GH折疊得到△F′GH，
∴F′H=FH，
∵HQ⊥OM，
∴∠HQO=90°，
∵△OEF是等邊三角形，
∴∠EOF=60°，
在Rt△OQH中，∠EOF=60°，
∴OH=$\frac{OQ}{cos60°}$=2OQ，
∵OH=$\sqrt{3}$OQ，F(xiàn)′Q=OQ，
∴F′H=$\sqrt{3}$OQ-OQ=（$\sqrt{3}$-1）OQ，
∵OF=6，F(xiàn)H=6-2OQ，
∴（$\sqrt{3}$-1）OQ=6-2OQ，
解得：OQ=3$\sqrt{3}$-3，
∵OE=6，M是OE的中點，
∴OM=3，
∴MQ=MO-OQ=3-（3$\sqrt{3}$-3）=6-3$\sqrt{3}$；
（3）BM+BN=$\frac{1}{2}$AB；
證明如下：如右圖，取AB的中點G，連接OG，則OG=AG=BG，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，O是AC的中點，
∴∠A=30°，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
在△AOB中，∠A=30°，
∴OB=AG=BG，
∴OG=OB，∠GOB=60°，即∠1+∠2=60°，
由等邊△EOF，得：∠EOF=60°，即∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△OGM和△OBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OG=OB}\\{∠OGM=∠OBN}\end{array}\right.$，
∴△OGM≌△OBN（ASA），
∴GM=BN，
∴BM+BN=BM+GM=$\frac{1}{2}$AB．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，第（2）小題，用含有OQ的式子表示FH和F′H是解決本小題的關(guān)鍵；第（3）小題，解題的關(guān)鍵是將線段BM、BN，轉(zhuǎn)化到線段AB上．