Question

如圖，⊙O的半徑為1，圓心O在正三角形的邊AB上移動．試討論：在移動過程中，⊙O與AC邊有不同個(gè)數(shù)的交點(diǎn)時(shí)，OA的取值情況．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：作OD⊥AC，利用AC與⊙O相切于點(diǎn)D，△ABC為正三角形，可求得sin∠A=

OD

OA

，利用特殊角的三角函數(shù)值可求得OA=

2 3

3

．

解答：解：①如圖1，當(dāng)⊙O與AC邊有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OD⊥AC，
∴∠ADO=90°．
∵△ABC為正三角形，
∴∠A=60°．
∴sin∠A=

OD

OA

，
∴

3

2

=

1

OA

，
∴OA=

2 3

3

．
②如圖2，當(dāng)⊙O與AC剛好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OA=AD=OD=1，
于是1＜OA＜

2 3

3

時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．
③OA＞

2 3

3

時(shí)，無交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系及三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．