Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，直線l_AB：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$與x軸交于點B，且與過原點的直線l_OA互相垂直且交于點A（$\frac{18}{5}$，m），正方形CDEF的其中一個頂點C與原點重合，另一頂點E在反比例函數y=-$\frac{16}{x}$上，正方形CDEF從現在位置出發(fā)，在射線OB上以每秒1個單位長度的速度向右平移，運動時間為t．
（1）當D落在線段AO上時t=3，當D落在線段AB上時t=$\frac{14}{3}$．
（2）記△ABO與正方形CDEF重疊面積為S，當0≤t≤7時，請直接寫出S與t的函數關系式以及t的取值范圍．
（3）在正方形CDEF從圖1位置開始向右移動的同時，另一動點P在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從B點運動到A點，當0≤t≤8時，請求出使得△CAP是以AC為腰的等腰三角形的t的值．

Answer 1

分析 （1）先求點A的坐標，并求直線l_OA的解析式；根據正方形CDEF的一點E在反比例函數y=-$\frac{16}{x}$上，則邊長為4，平移得，點D的縱坐標總是4，橫坐標為其速度t，因此點D在哪條直線上，就代入哪個解析式即可；
（2）分三種情況討論：①當0≤t≤3時，如圖2，重疊面積為△OCG的面積，利用面積公式求得；②當3＜t≤$\frac{14}{3}$時，如圖3，過G作GM⊥x軸于M，重疊面積為正方形CDEF面積減去△EGH的面積；③當$\frac{14}{3}$＜t≤7，如圖4，重疊面積S=16-S_△EGH-S_△DMN；
（3）如圖5，先求點P的坐標，分兩種情況：如圖6，當AC=AP時，根據圖形構建兩個直角三角形，利用勾股定理列方程解出t的值；如圖7，當AC=PC時，同理可得t的值．

解答 解：（1）當x=$\frac{18}{5}$時，y=-$\frac{3}{4}$×$\frac{18}{5}$+$\frac{15}{2}$=$\frac{24}{5}$，
∴A（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$），
設l_OA的解析式為：y=kx，
把A（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）代入得：$\frac{24}{5}$=$\frac{18}{5}$k，
k=$\frac{4}{3}$，
∴l(xiāng)_OA的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x，
由正方形CDEF的一點E在反比例函數y=-$\frac{16}{x}$上，
則正方形邊長為4，
設D（t，4），
當D落在線段AO上時，4=$\frac{4}{3}$t，t=3，
當D落在線段AB上時，4=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{2}$，t=$\frac{14}{3}$，
故答案為：3，$\frac{14}{3}$；
（2）①當0≤t≤3時，如圖2，
∵OC=t，則CG=$\frac{4}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$CG•OC=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{3}$t=$\frac{2}{3}$t²，
②當3＜t≤$\frac{14}{3}$時，如圖3，過G作GM⊥x軸于M，則tan∠GOM=$\frac{4}{3}$，OF=t-4，
∴tan∠GOM=$\frac{FH}{OF}$，
∴FH=$\frac{4}{3}$（t-4），
∴EH=4-$\frac{4}{3}$（t-4），
∵EG=FM=3-（t-4）=7-t，
∴S=16-S_△EGH=16-$\frac{1}{2}$×EH×EG=16-$\frac{1}{2}$[4-$\frac{4}{3}$（t-4）]（7-t）=-$\frac{2}{3}$t²+$\frac{28}{3}$t-$\frac{50}{3}$；
③當$\frac{14}{3}$＜t≤7，如圖4，
當y=0，-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$=0，x=10，
∵HM=$\frac{14}{3}$-3=$\frac{2}{3}$，DM=OC-OQ=t-$\frac{14}{3}$，
過M作MQ⊥x軸于Q，則MQ=4，OQ=$\frac{14}{3}$，BQ=10-$\frac{14}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴tan∠MBQ=$\frac{MQ}{BQ}$=$\frac{4}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∵ED∥FC，
∴∠DMN=∠MBQ，
∴tan∠DMN=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{ND}{MD}$=$\frac{3}{4}$，
∴ND=$\frac{3}{4}$（t-$\frac{14}{3}$），
∴S=16-S_△EGH-S_△DMN，
=-$\frac{2}{3}$t²+$\frac{28}{3}$t-$\frac{50}{3}$-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{14}{3}$）$•\frac{3}{4}（t-\frac{14}{3}）$，
=-$\frac{25}{24}{t}^{2}$+$\frac{77}{6}$t-$\frac{149}{6}$；
（3）如圖5，過P作PQ⊥x軸于Q，
由（2）得：tan∠PBQ=$\frac{3}{4}$，
∵BP=t，
∴PQ=$\frac{3t}{5}$，BQ=$\frac{4t}{5}$，
∴OQ=OB-BQ=10-$\frac{4t}{5}$，
∴P（10-$\frac{4t}{5}$，$\frac{3t}{5}$），
如圖6，當AC=AP時，過A作AG⊥x軸于G，
∵OB=10，OG=$\frac{18}{5}$，
∴GB=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{32}{5}）^{2}}$=8，
∴AP=AC=8-t，CG=$\frac{18}{5}$-t，

在Rt△ACG中，得$\sqrt{（\frac{18}{5}-t）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=AC²=AP²=（8-t）²，

解得：t=$\frac{35}{11}$，
如圖7，當AC=PC時，同理構建Rt△ACG和Rt△PCQ，
得：$\sqrt{（\frac{18}{5}-t）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3t}{5}）+（10-\frac{4t}{5}-t）^{2}}$，
解得：t₁=8（舍）或t₂=$\frac{40}{13}$，
綜上所述：使得△CAP是以AC為腰的等腰三角形的t的值為$\frac{35}{11}$或$\frac{40}{13}$．

點評 本題是反比例函數的綜合題，考查了利用待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式；對于求兩圖形重疊部分的面積，要先確定其特殊位置時t的值，弄清運動過程中形成的重疊部分圖形的形狀分幾類，從而確定分幾種情況進行討論；再求t的值時，與方程相結合，利用勾股定理列方程．