Question

5．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表

X	-1	0	1	3	4
y	-1	3	5	3	m

給出下列結(jié)論：
①m=-1
②當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小
③3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一個(gè)根
④若ax²+（b-1）x+c＜0，則-1＜x＜3，其中正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1.5，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．

解答 解：①∵根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值圖
∴a-b+c=-1，c=3，a+b+c=5，
∴a-b=-4，a+b=2，
∴a=-1，b=3，
∴函數(shù)解析式為：y=-x²+3x+3，
即y=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{21}{4}$），
當(dāng)x=4時(shí)，y=-16+3×4+3=-1，
∴m=-1，
故①正確；
②∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c開口向下，且對(duì)稱軸為x=1.5，
∴當(dāng)x≥1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故②錯(cuò)誤；
③∵x=3時(shí)，y=3，
∴9a+3b+c=3，
∵c=3，
∴9a+3b+3=3，
∴9a+3b=0，
∴3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一個(gè)根，故③正確；
④∵x=-1時(shí)，ax²+bx+c=-1，
∴x=-1時(shí)，ax²+（b-1）x+c=0，
∵x=3時(shí)，ax²+（b-1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，ax²+（b-1）x+c＞0，故④正確．
所以正確選項(xiàng)有①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．