Question

16．設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁與x₂，則：
1．x₁+x₂=-$\frac{a}$；x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
2.$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{c}$．
3．x₁²+x₂²=$\frac{^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
4．x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$；
（2）將x₁+x₂=-$\frac{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$中，即可求出結(jié)論；
（3）將x₁+x₂=-$\frac{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂中，即可求出結(jié)論；
（4）將x₁+x₂=-$\frac{a}$、x₁x₂=$\frac{c}{a}$，代入x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂•（x₁+x₂）中，即可求出結(jié)論．

解答 解：1、∵一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根分別為x₁與x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
故答案為：-$\frac{a}$；$\frac{c}{a}$．
2、∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{c}$．
故答案為：-$\frac{c}$．
3、∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
故答案為：$\frac{^{2}-2ac}{{a}^{2}}$．
4、∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂•（x₁+x₂）=-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{bc}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和等于-$\frac{a}$、兩根之積等于$\frac{c}{a}$是解題的關(guān)鍵．