Question

17．如圖，A，B兩點分別在反比例函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$和y=$\frac{k}{x}$的圖象上，連接OA、OB，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F，若OA⊥OB，OB=2OA，則k的值為4．

Answer 1

分析 先證得△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出OF=2AE，BF=2OE，設(shè)A（a，b），代入y=-$\frac{1}{x}$得出ab=-1，因為OE=-a，AE=b，所以AE•OE=-ab=1，設(shè)B（x，y），則OF=x，BF=y，即可求得k=xy=4．

解答 解：∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=2AE，BF=2OE，
∴OF•BF=2AE•2OE=4AE•OE，
∵A點在反比例函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$上，
設(shè)A（a，b），
∴k=ab=-1，
∵OE=-a，AE=b，
∴AE•OE=-ab=1，
設(shè)B（x，y），
∴OF=x，BF=y，
∴OF•BF=4，
∴k=xy=4．
故答案為4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中比例系數(shù)k的幾何意義：過反比例函數(shù)圖象上任意一點分別作x軸、y軸的垂線，則垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為|k|．