Question

16．如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）將（m，m+1）代入拋物線，解出m的值，然后根據B與C的坐標可知，CD⊥y軸，OB=OC，所以點E在y軸上，然后根據對稱的性質即可求出E的坐標．
（3）有兩種方法：法一作輔助線PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根據幾何關系，先求出tan∠PBF，再設出P點坐標，根據幾何關系解出P點坐標；法二過點D作BD的垂線交直線PB于點Q，過點D作DH⊥x軸于H．過Q點作QG⊥DH于G，由角的關系，得到△QDG≌△DBH，再求出直線BP的解析式，解出方程組從而解出P點坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4a經過A（-1，0）、C（0，4）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解之得：a=-1，b=3，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4；

（2）如圖，∵點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，
∴把D的坐標代入（1）中的解析式得：m+1=-m²+3m+4，
解得m=3或m=-1，
∵m＞0，
∴m=3，
∴D（3，4），
當y=0時，-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=∠OCB=45°，
設點D關于直線BC的對稱點為點E，
∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E點在y軸上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴E（0，1）
即點D關于直線BC對稱的點的坐標為（0，1）；

（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）可知OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵OB=OC=4
∴BC=4 $\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠PBF=tan∠CBD=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，設PF=3t，則BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P點在拋物線上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=$\frac{22}{25}$，
∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$）；

點評 此題考查二次函數與x軸的交點，待定系數求函數解析式、銳角三角函數、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用分方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．