Question

10．如圖，已知△ABC，直線PQ垂直平分AC，與邊AB交于點E，連接CE，過點C作CF∥BA交PQ于點F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）求證：四邊形AECF是菱形．
（3）若ED=6，AE=10，則菱形AECF的面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由PQ為線段AC的垂直平分線得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，F(xiàn)C=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形；
（3）由菱形的性質(zhì)和勾股定理求出AD，得出AC的長，由菱形的面積公式即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵PQ為線段AC的垂直平分線，
，∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{EAC=∠FCA}&{\;}\\{∠CFD=∠AED}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）證明：∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF為線段AC的垂直平分線，
∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四邊形AECF為菱形；
（3）解：∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵ED=6，AE=10，
∴EF=2ED=12，AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∴AC=2AD=16，
∴菱形AECF的面積=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×16×12=96．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等的判定與性質(zhì)、蓋棺定論、基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解通過作圖能得到直線的垂直平分線．