Question

若P是y=x²上一點(diǎn)，且圓P的半徑為1，當(dāng)圓P與直線y=

3

x相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：過點(diǎn)P作直線AB∥直線y=

3

x，分別交x軸和y軸于A、B，作OC⊥AB于C，如圖，利用直線的平移可設(shè)直線AB的解析式為y=

3

x+b，則A（-

3

3

b，0），B（0，b），在Rt△ABO中，利用正切的定義可計(jì)算出∠ABO=30°；由于圓P與直線y=

3

x相切，根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線間的距離的定義得到OC=1，則在Rt△BOC中可計(jì)算出OB=2OC=2，然后利用而次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題解方程組

y=x2 y= 3 x+2

即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：過點(diǎn)P作直線AB∥直線y=

3

x，分別交x軸和y軸于A、B，作OC⊥AB于C，如圖，
設(shè)直線AB的解析式為y=

3

x+b，則A（-

3

3

b，0），B（0，b），
在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∵圓P與直線y=

3

x相切，
∴OC=1，
在Rt△BOC中，OB=2OC=2，
∴直線AB的解析式為y=

3

x+2，
解方程組

y=x2 y= 3 x+2

得

x= 3 - 11 2 y= 7- 33 2

或

x= 3 + 11 2 y= 7+ 33 2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3 - 11

2

，

7- 33

2

）或（

3 + 11

2

，

7+ 33

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象與幾何平移；會運(yùn)用三角函數(shù)的定義求角的度數(shù)和計(jì)算線段的長；會求二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．