Question

17．如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F．
（1）求證：DE-BF=EF；
（2）將圖①中△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F′，若正方形邊長為3，求點F′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點E之間的距離；
（3）若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）本題的關(guān)鍵是求△ADE和ABF全等，以此來得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，這兩個三角形中已知的條件有AD=BA，一組直角，關(guān)鍵是再找出一組對應(yīng)角相等，可通過證明∠DAF和∠ABF來實現(xiàn)，
（2）由（1）得到BF=AE，AF=DE，由旋轉(zhuǎn)得，AF=AF′，BF=DF′，判斷出四邊形AEDF′是矩形即可；
（3）方法同（1）還是說明△ADE和△ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不過本題的結(jié)論是DE+BF=EF．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．
（2）解：如圖①，

理由如下：
由（1）有，BF=AE，AF=DE，
由旋轉(zhuǎn)得，AF=AF′，BF=DF′，
∴AE=DF′，DE=AF′，
∴四邊形AEDF′是平行四邊形，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴四邊形AEDF′是矩形，
∴EF′=AD=3．
（3）解：如圖②，

∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴EF=AE+AF=BF+DE．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)和垂直的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似．