Question

17．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．
（1）過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點E、F，求證：CD²=DF•DA；
（2）如圖2：若過BD上另一點E作BD的垂線交DA、DC于點F、G，有什么結(jié)論？并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似，可以證得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得．
（2）利用上題的方法，可以得到比例線段，將其變形，可得到等積式．

解答 證明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$，
∴DC²=DE•DB，
又∵DE•DB=DA•DF，
∴CD²=DF•DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
同理△DBC∽△GDE．
∴DB：GD=DC：DE．
∴DE•BD=CD•DG．
∴AB•DF=DC•DG．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．