Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（9，0），直線y=$\frac{3}{4}$x+12與x軸、y軸分別交于點C、B，點P是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），聯結AP．
（1）求tan∠BCA的值；
（2）設tan∠PAC=t，試求線段CP的長（用含t的代數式表示）；
（3）當△ABP與△AOB相似時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）對于直線BC解析式，分別令x與y為0，求出y與x的值，確定出B與C坐標，得出OB與OC的長，在直角三角形BOC中，利用銳角三角函數定義求出tan∠BCA的值即可；
（2）連接AP，過P作PQ垂直于x軸，如圖1所示，根據tan∠PAC=t，設出PQ與AQ，由OA+OC求出AC的長，由AC-AQ表示出CQ的長，根據tan∠BAC的值，表示出x，進而表示出PQ與CQ，利用勾股定理表示出CP即可；
（3）利用兩邊對應成比例且夾角相等得到三角形BOC與三角形AOB相似，利用同角的余角相等得到∠ABC為直角，如圖2所示，分三種情況考慮：當△AOB∽△P₁BA，且相似比為1時；當△AOB∽△P₂BA，且相似比為1時；當△AOB∽△ABP₃時，分別求出P的坐標即可．

解答 解：（1）對于直線y=$\frac{3}{4}$x+12，
令x=0，得到y(tǒng)=12；令y=0，得到x=-16，
∴B（0，12），C（-16，0），
∴OB=12，OC=16，
在Rt△BOC中，tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$；
（2）如圖所示，連接AP，過P作PQ⊥x軸，

由tan∠PAC=t，設PQ=tx，則有AQ=x，
∵AC=OA+OC=9+16=25，
∴CQ=AC-AQ=25-x，
由tan∠BAC=$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{3}{4}$，得到4tx=3（25-x），
解得：x=$\frac{75}{4t+3}$，
∴PQ=tx=$\frac{75t}{4t+3}$，CQ=25-$\frac{75}{4t+3}$=$\frac{100t}{4t+3}$，
根據勾股定理得：CP=$\sqrt{P{Q}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\frac{125t}{4t+3}$；
（3）∵OB²=OA•OC，且∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠ACB，
∵∠ACB+∠CBO=90°，
∴∠ABO+∠CBO=90°，即∠ABC=90°，
如圖2所示，分三種情況考慮：

當△AOB∽△P₁BA，且相似比為1時，P₁B=OA=9，作P₁Q⊥x軸，
∴CP₁=CB-P₁B=20-9=11，
∵tan∠BCA=$\frac{3}{4}$，
設P₁Q=3x，則有CQ=4x，
根據勾股定理得：CP₁=5x=11，即x=$\frac{11}{5}$，
∴P₁Q=$\frac{33}{5}$，CQ=$\frac{44}{5}$，OQ=16-$\frac{44}{5}$=$\frac{36}{5}$，
此時P₁（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）；
當△AOB∽△P₂BA，且相似比為1時，BP₂=OA=9，
同理得到P₂（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）；
當△AOB∽△ABP₃時，有$\frac{B{P}_{3}}{OB}$=$\frac{AB}{OA}$，即BP₃=$\frac{12×15}{9}$=20，
同理得到P₃（16，24），
綜上，滿足題意P的坐標為（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）或（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）或（16，24）．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，勾股定理，銳角三角函數定義，坐標與圖形性質，以及一次函數與坐標軸的交點，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．