Question

已知如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中點，MN⊥BD且與MD的平行線BN相交于N．
（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相鄰兩角的度數(shù)．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=

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AC，設(shè)BD與MN相交于點O，根據(jù)等腰三角形三線合一可得BO=DO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠MDO=∠NBO，然后利用“角邊角”證明△MDO和△NBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OM=ON，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BMC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CMD=90°，然后求出∠BMD，再根據(jù)菱形的鄰角互補列式計算即可求出∠MBN．

解答：（1）證明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中點，
∴BM=DM=

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2

AC，
設(shè)BD與MN相交于點O，
∵MN⊥BD，
∴BO=DO，
∵MD∥BN，
∴∠MDO=∠NBO，
在△MDO和△NBD中，

∠MDO=∠NBO BO=DO ∠MOD=∠NOB=90°

，
∴△MDO≌△NBD（ASA），
∴OM=ON，
∴BD、MN互相垂直平分，
∴四邊形BMDN是菱形；

（2）解：∵∠BAC=30°，∠ACD=45°，
∴∠BMC=30°×2=60°，
∠CMD=90°，
∴∠BMD=60°+90°=150°，
∵DM∥BN，
∴∠MBN=180°-150°=30°，
∴菱形BNDM相鄰兩角的度數(shù)是150°，30°．

點評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．