Question

19．如圖，點P在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上，PN⊥PM，M為y軸負(fù)半軸上的一點，N為x軸上的點，且PM=PN，則ON-OM的值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，由條件可證明△PAN≌△PBM，可得到PA=PB，可證明四邊形PAOB為正方形，可求得P點坐標(biāo)，又由全等可得OM=AN，可求得ON-OM的值．

解答 解：
如圖，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，設(shè)PM交x軸于點C，
∴∠PAN=∠PBM=90°，四邊形PAOB為矩形，
∵PM⊥PN，
∴∠PCN+∠PNA=∠OCM+∠OMC=90°，
∵∠PCN=∠OCM，
∴∠PNA=∠PMB，
在△PAN和△PBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠PBM}\\{∠PNA=∠PMB}\\{PN=PM}\end{array}\right.$
∴△PAN≌△PBM（AAS），
∴PB=PA，BM=AN，
∴矩形PAOB為正方形，
可設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x），代入反比例函數(shù)解析式可得x²=3，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴BO=OA=$\sqrt{3}$，
∴ON-OM=OA+AN-OM=OA+BM-OM=OA+OB=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由條件求得P點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．