Question

如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：△ADP∽△BDA；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進(jìn)而得出答案；
（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進(jìn)而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）利用△ADP∽△BDA，得出

AD

BD

=

DP

DA

=

AP

AB

，求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ADP∽△CAP，則

AP

CP

=

DP

AP

，則AP²=CP•PD求出AP的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答：（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，
∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，
證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等邊三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，

∠PAB=∠FCB ∠BPA=∠BFC PB=FB

，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=CB，
∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DP

DA

=

AP

BA

，
∵AD=2，PD=1，
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD-DP=3，
∵∠APD=180°-∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴∠PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

DP

AP

，
∴AP²=CP•PD，
∴AP²=（3+AP）•1，
解得：AP=

1+ 13

2

或AP=

1- 13

2

（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，能夠熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．