Question

3．拋物線y=ax²+c的頂點(diǎn)為（0，4），且與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²的形狀相同，開口相反．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，ax²+c＞0？
（4）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在拋物線y=ax²+c上，且x₁＜x₂＜0，試比較y₁與y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)拋物線形狀相同，開口相反說明a互為相反數(shù)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出拋物線的解析式．
（2）令y=0解方程即可解決問題．
（3）利用圖象法即可解決．
（4））根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4，開口向下，對(duì)稱軸為y軸，推出x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，由此即可判斷．

解答 解：（1）由題意拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+4．
（2）對(duì)于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4，令y=0，得到-$\frac{1}{2}$x²+4=0，解得x=±2$\sqrt{2}$，
∴拋物線y=ax²+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）．
（3）由圖象可知當(dāng)-2$\sqrt{2}$＜x＜2$\sqrt{2}$時(shí)，ax²+c＞0．
（4）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4，開口向下，對(duì)稱軸為y軸，
∴x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴x₁＜x₂＜0時(shí)，
∴y₁＜y₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．