Question

6．如圖，拋物線y=x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（m，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，m＞1．
（1）分別用m表示b和c；
（2）用m表示D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m取何值時(shí)，△ABD是等邊三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)列出解析式，與已知解析式比較，表示出b與c即可；
（2）把拋物線解析式表示為頂點(diǎn)形式，表示出D坐標(biāo)即可；
（3）連接AD，BD，過D作DE垂直于x軸，利用等邊三角形的性質(zhì)得到DE=$\sqrt{3}$AE，即可確定出m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（m，0），
∴x²+bx+c=（x+1）（x-m）=x²-（m-1）x-m，
則b=1-m，c=-m；
（2）y=x²+（1-m）x-m=（x+$\frac{1-m}{2}$）²-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{1-m}{2}$，-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$）；
（3）若△ABD為等邊三角形，作DE⊥x軸，
可得DE=$\sqrt{3}$AE，
∵DE=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，AE=1-$\frac{1-m}{2}$=$\frac{m+1}{2}$，
∴$\frac{m+1}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得：m=2$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．