Question

如圖1，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，且OC=OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)C、O兩點(diǎn)作⊙H交x軸于另一點(diǎn)D，交直線BC于另一點(diǎn)E，已知F（1.5，-1.5）（F與H不重合）．求：

FH

DE

的值；
（3）如圖2，若拋物線上有一點(diǎn)P，連PC交線段BM于Q點(diǎn)，且S_△BPQ=S_△CMQ，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,面積及等積變換,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形中位線定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）易求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、OB、OC的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可解決問(wèn)題；
（2）易得點(diǎn)F是CB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得HF=

1

2

DB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DEB=∠COD=90°，在Rt△DEB中根據(jù)三角函數(shù)的定義可得DE=

2

2

DB，就可求出

FH

DE

的值；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為y=x-3，由S_△BPQ=S_△CMQ可得S_△PBC=S_△MBC，從而可得MP∥BC，故直線MP的解析式可設(shè)為y=x+n，然后只需求出拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，就可得到直線MP的解析式為y=x-5，然后聯(lián)立

y=x-5 y=x2-2x-3

，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，得：mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）、，B（3，0）、OB=3．
∵OC=OB=3，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，
∴C（0，-3），
∴-3m=-3，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖1，
∵F（1.5，-1.5），B（3，0），C（0，-3），
∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)H為DC的中點(diǎn)，
∴FH=

1

2

DB．
∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠DEB=∠COD=90°．
在Rt△DEB中，
DE=DB•sin∠DBE=

2

2

DB，
∴

FH

DE

=

1 2 DB

2 2 DB

=

2

2

．

（3）如圖2，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
∵S_△BPQ=S_△CMQ，
∴S_△BPQ+S_△BCQ=S_△CMQ+S_△BCQ，
∴S_△PBC=S_△MBC，
∴MP∥BC，
∴直線MP的解析式可設(shè)為y=x+n．
∵拋物線y=x²-2x-3=（x-1）²-4的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），
∴1+n=-4，
∴n=-5，
∴直線MP的解析式為y=x-5．
聯(lián)立

y=x-5 y=x2-2x-3

，
解得：

x=1 y=-4

（舍去），或

x=2 y=-3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形中位線定理、等積變換、解方程組等知識(shí)，有一定的綜合性，找到FH、DE與DB之間的關(guān)系是解決第（2）小題的關(guān)鍵，由S_△BPQ=S_△CMQ推出MP∥BC是解決第（3）小題的關(guān)鍵．