Question

17．如圖1，已知：正方形ABCD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)D作DG⊥CE于G交AB于F．
（1）求證：DF=CE．
（2）如圖2，連接BG，若E為AD的中點(diǎn)，BG=4，求FG的長為多少．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF=CE，只要證明△ADF≌△DCE即可．
（2）如圖2中，連接CF．首先證明BC=BG，再求出DG、DF即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠FAD=∠EDC=90°．
又∵DG⊥CE于G交AB于F，
∴∠ADF+∠CDG=∠CDG+∠GCD=90，
∴∠ADF=∠DCE．
在△ADF與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EDC}\\{∠ADF=∠DCE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△DCE（AAS）
∴DF=CE．

（2）如圖2中，連接CF．

∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，∠AFD=∠CED，
∵AE=ED，AD=BC，
∴AF=FB，∵BC=AD，∠A=∠FBC=90°，
∴△AFD≌△BFC，
∴∠AFD=∠BFC=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠BCG，
∵∠FBC+∠FGC=180°，
∴B、F、G、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BFC=∠BCG，
∴BG=BC=4，
∵tan∠ADF=$\frac{EG}{DG}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EG=x，則DG=2x，
∴x²+（2x）²=2²，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，∵DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴GF=DF-DG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，第二個問題關(guān)鍵是證明BG=BC，題目比較難，屬于中考壓軸題．