Question

拋物線(xiàn)y=x²+2x+2記作C，直線(xiàn)y=2x+1記作l，平行移動(dòng)C，使它與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，且與l只有一個(gè)交點(diǎn)，平移的方法為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：設(shè)平移后拋物線(xiàn)的解析式為y=x²+ax+b，設(shè)方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，根據(jù)它與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，得出（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，即a²-4b=16 ①，由y=x²+ax+b與直線(xiàn)l：y=2x+1只有1個(gè)交點(diǎn)，得出方程x²+ax+b=2x+1有兩個(gè)相同的根，那么△=（a-2）²-4（b-1）=a²-4a+4-4b+4=a²-4a-4b+8=0②，再把①代入②，得16-4a+8=0，求出a=6，再求出b=5，然后根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可求解．

解答：解：設(shè)平移后拋物線(xiàn)的解析式為y=x²+ax+b，
設(shè)方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-a，x₁•x₂=b，
∵它與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，
∴|x₁-x₂|=4，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴a²-4b=16 ①．
∵y=x²+ax+b與直線(xiàn)l：y=2x+1只有1個(gè)交點(diǎn)，
∴方程x²+ax+b=2x+1有兩個(gè)相同的根，
整理得x²+（a-2）x+（b-1）=0，
∴△=（a-2）²-4（b-1）=a²-4a+4-4b+4=a²-4a-4b+8=0②，
把①代入②，得16-4a+8=0，
解得a=6，
∴6²-4b=16，
∴b=5，
∴解析式為y=x²+6x+5=（x+3）²-4，原來(lái)的解析式為y=（x+1）²+1，
∵3-1=2，-4-1=-5，
∴向左平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位．
故答案為向左平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．