Question

已知：AD、AE分別是△ABC的內(nèi)外角平分線，M為DE中點(diǎn)，求證：

AB2

AC2

=

BM

CM

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)，證明∠B=∠3，易證△BMA∽△AMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得．

解答：證明：連接AM．
∵AD、AE分別為三角形ABC的內(nèi)、外角平分線，
∴∠DAE=90°又∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，
∴AM=

1

2

DE=DM，
∴∠MDA=∠MAD=∠2+∠3
又∵∠MDA=∠1+∠B
∴∠1+∠B=∠2+∠3
∵∠1=∠2
∴∠B=∠3
又∵∠BMA=∠AMC
∴△BMA∽△AMC
∴

AB

AC

=

AM

CM

=

BM

AM

，
∴

AB2

AC2

=

AM2

CM2

-----------（1）
由

AM

CM

=

BM

AM

，
得：AM²=BM•CM-------------（2）
將（2）代入（1）得：

AB2

AC2

=

BM•CM

CM2

=

BM

CM

，即：

AB2

AC2

=

BM

CM

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△BMA∽△AMC是關(guān)鍵．