Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分別與AE、AF相交于G、H．

（1）在圖中找出與△ABE相似的三角形，并說(shuō)明理由；

（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

（1）△ABE∽△ADF．（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)由平行四邊形ABCD知：∠ABE=∠ADF;由AE⊥BC，AF⊥CD得：∠AEB=∠AFD.從而△ABE∽△ADF；

（2）由（1）得∠BAG=∠DAH.因?yàn)锳G=AH，得∠AGH=∠AHG.所以∠ABG=∠ADH.故AB=AD; 又四邊形ABCD是平行四邊形，從而得證.

試題解析：（1）△ABE∽△ADF．

理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∴∠AEB=∠AFD=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABE=∠ADF．

∴△ABE∽△ADF．

（2）證明: ∵AG=AH，

∴∠AGH=∠AHG．

∴∠AGB=∠AHD．

∵△ABE∽△ADF，

∴∠BAG=∠DAH．

∴∠BAG≌∠DAH．

∴AB=AD

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD

∴平行四邊形ABCD是菱形．

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)，2. 菱形的判定.