Question

如圖，點D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點，且CD=AE，AD、BE相交于P點，BQ⊥AD．
（1）求證：△ABE≌△ADC；
（2）已知PE=2，AD=8，求PQ的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS即可證得△ABE≌△ADC；
（2）由）△ABE≌△ADC得出∠CAD=∠ABE，BE=AD=8，從而求得∠BPD=∠APE=∠BAC=60°進(jìn)而得出∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABE和△ADC中，

CD=AE ∠ACD=∠BAE=60° AC=AB

，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADC，
∴∠CAD=∠ABE，BE=AD=8，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠BAC=60°，即∠BPD的度數(shù)為60°；
∵BQ⊥AD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PB=BE-PE=8-2=6，
∴PQ=

1

2

PB=3．

點評：本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠APE=∠ABC是解題的關(guān)鍵．