Question

20．如圖，已知直線BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E、F在線段BC上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度數(shù)；
（2）若∠OEC=∠OBA，求∠OEC的度數(shù)；
（3）若平行移動(dòng)線段AB，是否存在∠OEC=2∠OBA？若存在，求出∠OEC的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOC的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠AOB=x，根據(jù)CB∥AO得出∠CBO=∠AOB=x，根據(jù)∠OEC=∠EOA=∠AOB+∠EOB=x+36°，CB∥AO可知∠OBA=180°-∠OAB-∠CBO=180°-108°-x=72°-x，根據(jù)∠OEC=∠OBA可得出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）由（2）可知：∠OEC=x+36°，∠OBA=72°-x，根據(jù)∠OEC=2∠OBA可得出x+36°=2（72°-x），故可得出x=36°，所以∠EOC=∠EOB+∠AOB=36°+36°=72°這與∠COA=72°相矛盾，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°；   

（2）設(shè)∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵∠OEC=∠EOA=∠AOB+∠EOB=x+36°，CB∥AO
∴∠OBA=180°-∠OAB-∠CBO=180°-108°-x=72°-x，
∵∠OEC=∠OBA，
∴x+36°=72°-x，
∴x=18°，
∴∠OEC=∠OBA=72°-18°=54°．   

（3）不存在．
由（2）可知：∠OEC=x+36°，∠OBA=72°-x
∵∠OEC=2∠OBA，
∴x+36°=2（72°-x），
解得x=36°，
∴∠EOA=∠EOB+∠AOB=36°+36°=72°這與∠COA=72°相矛盾．
∴不存在∠OEC=2∠OBA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，難度適中．