Question

15．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如圖1直線y=kx+1（k＞0）與拋物線第一象限的部分交于D點，交y軸于F點，交線段BC于E點．求$\frac{DE}{EF}$的最大值；
（3）如圖2，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．問在直線BC下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標帶入到拋物線解析式中，得出關于b、c的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；
（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根據相似三角形的性質得出$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$，由（1）可得出拋物線的解析式，令拋物線解析式中x=0則可得出點C的坐標，由點B、C的坐標可得出直線BC的解析式，設出點D的坐標，則可得出點N的坐標，由直線DF的解析式可得出點F的坐標，從而得出DN、CF的長度，由DN的長度結合二次函數的性質即可得出結論；
（3）假設存在符合題意的點Q．設PM與x軸交于點G，過點G作作直線BC的平行線．由拋物線的解析式可得出頂點P的坐標，由此得出對稱軸的解析式，結合直線BC的解析式可得出點M的坐標，結合點G的坐標可知PM=GM，由此得出滿足題意的點Q為“過點G與直線BC平行的直線和拋物線的交點”，由G點的坐標結合直線BC的解析式即可得出過點G與BC平行的直線的解析式，聯立直線與拋物線解析式得出關于x、y的二元二次方程組，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）將點A（-1，0）、B（3，0）帶入到拋物線解析式中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
（2）作DN∥CF交CB于N，如圖1所示．

∵DN∥CF，
∴△DEN∽△FEC，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$．
∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴點C的坐標為（0，3）．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
令直線y=kx+1中x=0，則y=1，
即點F的坐標為（0，1）．
設點D的坐標為（m，-m²+2m+3），則點N的坐標為（m，-m+3），
∴DN=-m²+3m，CF=3-1=2，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DN}{CF}$=$\frac{-{m}^{2}+3m}{2}$，
∵DN=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$的最大值為$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{DE}{EF}$的最大值為$\frac{9}{8}$．
（3）假設存在符合題意的點Q．
∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P點的坐標為（1，4），PM的解析式為x=1，
∵直線BC的解析式為y=-x+3，
∴M的坐標為（1，2），
∵點G的坐標為（1，0），
∴PM=GM=2．
設PM與x軸交于點G，過點G作作直線BC的平行線，如圖2所示．

∴過點G與BC平行的直線為y=-x+1．
聯立直線與拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$．
∴點Q的坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∵平行線間距離處處相等，且點M為線段PG的中點，
∴點Q到直線BC的距離與點P到直線的距離相等．
故在直線BC下方的拋物線上存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，點Q的坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定及性質、二次函數的性質以及解二元二次方程組，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求函數解析式；（2）由二次函數的性質解決最值問題；（3）由直線與拋物線相交得出二元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，聯立直線與拋物線的解析式得出關于x、y的二元二次方程組，通過解方程組來求出交點坐標是關鍵．