Question

5．【概念學(xué)習(xí)】
在平面中，我們把大于180°且小于360°的角稱為優(yōu)角．如果兩個(gè)角相加等于360°，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．
（1）若∠1、∠2互為組角，且∠1=135°，則∠2=225°
【理解應(yīng)用】
習(xí)慣上，我們把有一個(gè)內(nèi)角大于180°的四邊形俗稱為鏢形．
（2）如圖①，在鏢形ABCD中，優(yōu)角∠BCD與鈍角∠BCD
互為組角，試探索內(nèi)角∠A、∠B、∠D與鈍角∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖②，已知四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M，∠A+∠QCP=180°．
①寫出圖中一對(duì)互組的角優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ（兩個(gè)平角除外）；
②直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，試說明：PM⊥QM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互為組角的定義可知∠2=360°-∠1，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°，根據(jù)周角的定義可得優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°?，再利用等式的性質(zhì)得出鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）①根據(jù)互為組角的定義及周角的定義，結(jié)合圖形可知優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ是一對(duì)互組的角；
②先由∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的結(jié)論可知在鏢形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在鏢形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．

解答 解：（1）∵∠1、∠2互為組角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°；
                                   
（2）鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：
如圖①，∵在四邊形ABCD中，∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°，
又∵優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°?，
∴鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；

（3）①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M，
∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．
令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．
∵在鏢形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，
在鏢形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，
∴∠QCP+∠A=2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP=180°，
∴∠PMQ=90°．
∴PM⊥QM．    
故答案為225；優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和定理，角平分線定義，垂直的定義，等式的性質(zhì)，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解互為組角的定義以及得出（2）中的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．