Question

11．如圖，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切線，OE交弧BD于點(diǎn)M，點(diǎn)C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，連接CM．若BC=1，則AB=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．

Answer 1

分析 連接BM，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBE=90°，再判斷△CME為等腰直角三角形，則CE=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$，所以BE=$\sqrt{2}$+1，于是得到OD=OB=BE=$\sqrt{2}$+1，然后在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1），最后計(jì)算OB-OA即可．

解答 解：連接BM，如圖，
∵EB為切線，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∵∠BOE=45°，
∴∠E=45°，
∴△CME為等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$+1，
∴OB=BE=$\sqrt{2}$+1，
∴OD=$\sqrt{2}$+1，
在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）
∴AB=OB-OA=$\sqrt{2}$+1-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．
故答案為$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．