Question

13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（2，0），D（2，$\sqrt{3}$），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）過點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出雙曲線的解析式；
（2）點(diǎn)M是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且以P，Q，C，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點(diǎn)Q作QH⊥CD交AC于點(diǎn)H，在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以B，H，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論
（2）分三種情況，當(dāng)以PQ為對(duì)角線時(shí)，如圖1，PM∥CQ，PM=CQ，得到M（1，$\sqrt{3}$），當(dāng)以CQ為對(duì)角線時(shí)，如圖2，DQ=PB，QF=FC，得到DQ=QF=FC，于是求得M（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），當(dāng)以CP為對(duì)角線時(shí)，本存在；
（3）存在，根據(jù)AD=1，DC=$\sqrt{3}$，求得∠ACD=30°，于是得到H（2-t，$\sqrt{3}$t），p（1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），當(dāng)PH²=BH²時(shí)，當(dāng)PH²=BH²時(shí)，當(dāng)PB²=BH²時(shí)分別列方程求得t的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB⊥x軸，CD⊥x軸，
∵B（1，0），D（2，$\sqrt{3}$），
∴OB=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）過點(diǎn)A，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位，
∴當(dāng)以PQ為對(duì)角線時(shí)，如圖1，
PM∥CQ，PM=CQ，
∴M與A重合，
∴M（1，$\sqrt{3}$），
當(dāng)以CQ為對(duì)角線時(shí)，如圖2，DQ=PB，QF=FC，
∴DQ=QF=FC，
∴P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴M（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
當(dāng)以CP為對(duì)角線時(shí)，本存在；

（3）存在，∵AD=1，DC=$\sqrt{3}$，∴∠ACD=30°，B（1，0），
∴H（2-t，$\sqrt{3}$t），P（1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），
∵在平面內(nèi)，∴只要鄰邊相等即可，
當(dāng)PH²=BH²時(shí)，即（2-t-1）²+（2$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$）²=（t-1）²+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=0，t=$\frac{2}{3}$，
∵0≤t≤1，
∴存在，
當(dāng)PH²=PB²時(shí)，（1-2+t）²+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$t）²=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，∵0≤t≤1，
∴t=$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，
∵當(dāng)PB²=BH²時(shí)，（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²=（1-2+t）²+（$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=-2±$\sqrt{6}$，
∵0≤t≤1，
∴t=-2+$\sqrt{6}$，
綜上所述：當(dāng)t=0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，-2$+\sqrt{6}$時(shí)，以B，H，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．