Question

問題解決
如圖（1），已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC上．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．求證：CF=BD；
問題變式
如圖（2），當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，猜想CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系并說明理由；
問題拓展
如圖（3），已知，點D是等邊△ABC的邊BC延長線上的一點，連接AD，以AD為邊作菱形ADEF，并且使∠FAD=60°，CF垂直平分AD，猜想CG與FG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，從而得證；
（2）與（1）同理可得BD=CF，從而求出CF=BC+CD；
（3）依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AC=DC，從而得出∠CAD=30°，得出∠CAF=90°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC   ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD．

（2）CF=BC-CD，
理由：∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
在△BAD于△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴AD=CF，
∴CF=BC+CD．

（3）CG=

1

3

GF，
∵CF垂直平分AD，
∴AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA，
在等邊△ABC中∠ACB=60°，
∴∠CAD=∠CDA=30°，
∴在RT△ACG中，CG=

1

2

AC
∵∠FAD=60°，
∴∠AFG=30°，
∴∠CAF=90°，
∴在RTACF中，AC=

1

2

CF，
∴CG=

1

4

CF，
∴CG=

1

3

FG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)以及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（3）得出∠CAF=90°是本題的關(guān)鍵．