Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點，直線BE交⊙O于點F，如果⊙O的半徑為2

2

，則點O到BE的距離OM=

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：連接OA、OB、OD，求出AD，求出CE，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)相交弦定理求出EF，根據(jù)垂徑定理求出BM，在△BOM中，根據(jù)勾股定理求出OM即可．

解答：解：連接OD，OA，OB，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠AOD=

1

4

×360°=90°，
在△AOD中，由勾股定理得：AD=

OD2+OA2

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
∴CD=AD=BC=4，
∵E是CD中點，
∴DE=CE=2，
在△BCE中由勾股定理得：BE=

22+42

=2

5

，
由相交弦定理得：CE×DE=BE×EF，
即2×2=2

5

EF，
∴EF=

2 5

5

，
∴BF=2

5

+

2 5

5

=

12 5

5

，
∵OM⊥BF，OM過圓心O，
∴BM=FM=

1

2

BF=

6 5

5

，
在△BOM中，由勾股定理得：OB²=OM²+BM²，
即（2

2

）²=OM²+（

6 5

5

）²，
解得：OM=

2 5

5

．
故答案為

2 5

5

．

點評：本題考查了正多邊形和圓，綜合運用了垂徑定理，勾股定理，相交弦定理，正方形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并進(jìn)一步求出BM長，主要培養(yǎng)了學(xué)生運用定理進(jìn)行推理和計算的能力，題型較好，具有一定的代表性，難度適中．