Question

12．如圖，已知邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，P為邊CD的中點，直線AP交圓于E點，則是弦DE的長為（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 連接CE，作出EF⊥CD，運用相似三角形的性質(zhì)，得出EF，PF的長，即可求出．

解答 解：連接CE，作EF⊥PF
∵∠DAP=∠PCE，∠APD=∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{DP}{EP}$，
∵P為邊CD的中點
∴$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{1}{PE}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{PF}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{PF}$，
∴PF=$\frac{1}{5}$，
∴EF=$\frac{2}{5}$，
DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故選C．

點評 此題主要考查了正多邊形與圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．