Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-4ax-5a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=6AC．
（1）求出點B的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²-4ax-5a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），可以求得點A和點B的坐標(biāo)，由經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b，可以得到k與b的關(guān)系，然后根據(jù)CD=6AC，可以求得k與a的關(guān)系，從而可以表示出直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意可以知道點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，然后分兩種情況進(jìn)行解答，先畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)題意求出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-4ax-5a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），
∴0=ax²-4ax-5a=a（x-5）（x+1），得x₁=-1，x₂=5，
∴點A的坐標(biāo)是（-1，0），點B的坐標(biāo)是（5，0），
∵經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b，
∴k×（-1）+b=0，得k=b，
∴y=kx+k，
又∵CD=6AC，點A的坐標(biāo)是（-1，0），
∴點D的橫坐標(biāo)為6，
∴6k+k=a×6²-4a×6-5a，
解得，k=a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=ax+a，
即點B的坐標(biāo)是（5，0），直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=ax+a；
（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形．
當(dāng)AD為矩形的一邊時，如下圖1所示：

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得，x₁=-1，x₂=6
∴點D的坐標(biāo)為（6，7a），
∵拋物線y=ax²-4ax-5a的對稱軸為直線x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是拋物線的對稱軸上的一點，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，m），
∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），點Q在拋物線上，
∴點Q的坐標(biāo)為（-5，40a），
∴m=7a+40a=47a，
∴點P的坐標(biāo)為（2，47a），
∵AD⊥AQ，
∴AD²+AQ²=QD²，
即[6-（-1）]²+（7a）²+[（-1）-（-5）]²+（40a）²=[6-（-5）]²+（7a-40a）²，
解得，$a=±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵a＜0，
∴a=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴點P的坐標(biāo)為（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）；
當(dāng)AD為矩形的對角線時，如下圖2所示，

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得x₁=-1，x₂=6
∴點D的坐標(biāo)為（6，7a），
∵拋物線y=ax²-4ax-5a的對稱軸為直線x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是拋物線的對稱軸上的一點，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（2，m），
∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），點Q在拋物線上，
∴點Q的坐標(biāo)為（3，-8a），
∴m=7a-（-8a）=15a，
∴點P的坐標(biāo)為（2，15a），
∵AQ⊥AP，
∴AQ²+AP²=QP²，
即[3-（-1）]²+[（-8a）-0]²+[2-（-1）]²+（15a-0）²=（3-2）²+[（-8a）-15a]²，
解得a=$±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴點P的坐標(biāo)為（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．
由上可得，點P的坐標(biāo)為（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）或（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、拋物線與x軸的交點，直線與拋物線的交點、勾股定理、拋物線的對稱軸，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以求出相應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式，會用分類討論的數(shù)學(xué)思想對問題進(jìn)行解答，能夠運用勾股定理的知識進(jìn)行解答問題．