Question

5．如圖，⊙M的圓心M在x軸上，且與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)與y軸的正半軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是方程x²=3x+4的兩根，一條拋物線經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），B（4，0），可以假設(shè)拋物線為y=a（x+1）（x-4），連接BD，由△AOD∽△DOB，得OD²=AO•BO，推出OD=2，推出D（0，2），把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，求出a即可．
（2）設(shè)四邊形ABCD面積為S，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是方程x²=3x+4的兩根，
∴A（-1，0），B（4，0），
可以假設(shè)拋物線為y=a（x+1）（x-4），連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠AOD=∠DOB=90°，
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠DAO=∠BDO，
∴△AOD∽△DOB，
∴OD²=AO•BO，
∴OD=2，
∴D（0，2），
把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）連接OC．設(shè)C（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
S=S_△ADO+S_△DCO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）=-（m-2）²+9，
∵-1＜0，
∴m=2時(shí)，S有最大值，最大值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的最值問題、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)根據(jù)二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．