Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABC的邊BC在x軸上，A，C兩點的坐標分別為A（0，m），C（n，0），B（-5，0），且（n-3）²+$\sqrt{3m-12}$=0，點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線BO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t．
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）連接PA，當(dāng)△POA的面積等于△ABC的面積的一半時，求t的值；
（3）當(dāng)P在線段BO上運動時，在y軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由非負性先求出m，n即可求出點A，C坐標；
（2）根據(jù)點A，B，C的坐標求出△ABC的面積，再分點P在線段OB和射線OC上兩種情況討論計算；
（3）由∠POQ=∠AOC=90°，所以分兩種情況討論計算即可．

解答 t解：（1）∵（n-3）²+$\sqrt{3m-12}$=0
∴n-3=0，3m-12=0，
∴n=3，m=4，
∴A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）
（2）∵B（-5，0），A（0，4），C（3，0）；
∴OB=5，OC=3，OA=4
S_△ABC=$\frac{1}{2}$OA×BC=$\frac{1}{2}$×4×8=16
①P在線段OB上，如圖1，

∵OP=5-t，OA=4
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OP×AP=$\frac{1}{2}$（5-t）×4=16
∴t=1，
②當(dāng)P在射線OC上如圖2，

∵OP=t-5，OA=4，
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OP×AP=$\frac{1}{2}$（5-t）×4=16
∴t=9
∴當(dāng)t=1或t=9時，△POA的面積等于△ABCD的面積的一半；
（3）當(dāng)P在線段BO上運動時，在y軸上存在點Q，使△POQ與△AOC全等，
①當(dāng)BP=1，OQ=3時，△POQ和△AOC全等，
此時t=1，Q的坐標是（0，3）或（0，-3）
②當(dāng)BP=2，OQ=4時，△POQ和△AOC全等，
此時t=2，Q的坐標是（0，4）或（0，-4）；
綜上所述，t=1或2時，Q的坐標是（0，3）或（0，4）或（0，3）或（0，4）．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了非負性，三角形的面積公式，全等三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵分情況討論計算，也是解本題的難點．