Question

20．如圖1，等邊△ABC的邊長為3，分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心，BA長為半徑作$\widehat{AC}$、$\widehat{CB}$、$\widehat{BA}$，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對稱圖形，設(shè)點(diǎn)l為對稱軸的交點(diǎn)．
（1）如圖2，將這個圖形的頂點(diǎn)A與線段MN作無滑動的滾動，當(dāng)它滾動一周后點(diǎn)A與端點(diǎn)N重合，則線段MN的長為3π；
（2）如圖3，將這個圖形的頂點(diǎn)A與等邊△DEF的頂點(diǎn)D重合，且AB⊥DE，DE=2π，將它沿等邊△DEF的邊作無滑動的滾動當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí)，求這個圖形在運(yùn)動過程中所掃過的區(qū)域的面積；
（3）如圖4，將這個圖形的頂點(diǎn)B與⊙O的圓心O重合，⊙O的半徑為3，將它沿⊙O的圓周作無滑動的滾動，當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長為2$\sqrt{3}$nπ（請用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先求出$\widehat{AC}$的弧長，繼而得出萊洛三角形的周長為3π，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出萊洛三角形等邊△DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形的面積之和即可；
（3）先判斷出萊洛三角形的一個頂點(diǎn)和O重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)I的路徑，再用圓的周長公式即可得出．

解答 解：（1）∵等邊△ABC的邊長為3，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，$\widehat{AC}=\widehat{BC}=\widehat{AB}$，
∴${l}_{\widehat{AC}}={l}_{\widehat{BC}}$=${l}_{\widehat{AB}}$=$\frac{60π×3}{180}$=π，
∴線段MN的長為${l}_{\widehat{AC}}+{l}_{\widehat{BC}}+{l}_{\widehat{AB}}$=3π，
故答案為：3π；

（2）如圖1，
∵等邊△DEF的邊長為2π，等邊△ABC的邊長為3，
∴S_矩形AGHF=2π×3=6π，
由題意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG=120°，
∴S_扇形BAG=$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π，
∴圖形在運(yùn)動過程中所掃過的區(qū)域的面積為3（S_矩形AGHF+S_扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如圖2，

連接BI并延長交AC于D，
∵I是△ABC的重心也是內(nèi)心，
∴∠DAI=30°，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∴OI=AI=$\frac{AD}{cos∠DAI}=\frac{\frac{3}{2}}{cos30°}$=$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，OI為半徑的圓周，
∴當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長為n•2π•$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$nπ，
故答案為2$\sqrt{3}$nπ．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，萊洛三角形的周長，矩形，扇形面積公式，解（1）的關(guān)鍵是求出$\widehat{AC}$的弧長，解（2）的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊△DEF掃過的圖形，解（3）的關(guān)鍵是得出點(diǎn)I第一次回到起點(diǎn)時(shí)，I的路徑，是一道中等難度的題目．