Question

14．如圖，在?ABCD中，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，又M、N分別是DC、AB的中點，求證：四邊形EMFN是平行四邊形．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)可知“AB∥CE，AD∥BC，AB=CD，AD=BC”，由平行線的性質(zhì)可得出“∠DAF=∠BCE，∠MCF=∠NAE”，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得出△ADF≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)得出AF=CE，再根據(jù)邊角關(guān)系可判定△ANE≌△CMF，由此找出∠MFC=∠NEA，即得出FM∥EN；再由直角三角形的中線等于斜邊的一半可得出FM=EN，滿足“一組對邊平行且相等”，由此證出四邊形EMFN是平行四邊形．

解答 證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CE，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE，∠MCF=∠NAE．
∵BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，
∴∠DFA=∠BEC=∠DFC=∠BEA=90°．
在△ADF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCE}\\{∠DFA=∠BEC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE，
∴AE=AF+EF=CE+EF=CE．
∵M、N分別是DC、AB的中點，
∴AN=CM，
在△ANE和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CM}\\{∠MCF=∠NAE}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴∠MFC=∠NEA，
∴FM∥EN．
∵∠DFC=∠BEA=90°，M、N分別是DC、AB的中點，
∴FM=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$AB，
∴FM=EN，
∴四邊形EMFN是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，在解決該題中，為了尋找一組相等的內(nèi)錯角借助了兩次證明三角形全等稍顯周折，在解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)去尋找相等的角去證平行是關(guān)鍵．