Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)的圖像經過原點及點A（1,2），與x軸相交于另一點B(3,0)，將點B向右平移3個單位得點C．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

(2)點M在線段OC上，平面內有一點Q，使得四邊形ABMQ為菱形，求點M坐標；

（3）點P在線段OC上，從O點出發(fā)向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側作正方形PDEF（當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運動）；

①當點E在二次函數(shù)的圖像上時，求OP的長；

②若點P從O點出發(fā)向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，若P點運動t秒時，直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，直接寫出此刻t的值．

 

 

Answer 1

（1）y=-x2+3x；（2）（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）可設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，利用二次函數(shù)的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），分別代入求出a，b，c的值即可；

（2）分M是AB的垂直平分線與x軸的交點；M在B點左邊并且BM=AB；M在B點右邊并且BM=AB；三種情況討論可得點M坐標；

（3）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；

②分兩種情況討論，求出t的值即可．

試題解析：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，

∵二次函數(shù)的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），

∴，

解得．

故二次函數(shù)解析式為：y=-x2+3x；

（2）M是AB的垂直平分線與x軸的交點，點M坐標是（1，0）；

M在B點左邊并且BM=AB，點M坐標是（3-2，0）；

M在B點右邊并且BM=AB，點M坐標是（3+2，0）；

故點M坐標為（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；

（3）①由已知可得C（6，0）

如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，

∵DP∥AH，

∴△OPD∽△OHA，

∴，

即，

∴PD=2a，

∵正方形PDEF，

∴E（3a，2a），

∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y1=-x2+3x的圖象上，

∴a=；

即OP=．

②直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，此刻t的值為：或.

考點：二次函數(shù)綜合題．