Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2$\sqrt{3}$，DE=2，求AD的長(zhǎng)．
（3）在（2）的條件下，求弧BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90°，根據(jù)AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCE=∠BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，解方程即可得到結(jié)論；
（3）利用三角函數(shù)求得∠DCE的度數(shù)，根據(jù)△AEC∽△CED，求得∠A的度數(shù)，則∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，從而求得半徑，然后利用弧長(zhǎng)公式求解．

解答 （1）證明：連接OD，
∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴EC²=DE•AE，
∴（2$\sqrt{3}$）²=2（2+AD），
∴AD=4．

（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCE=30°，
又∵△AEC∽△CED，
∴∠A=∠DCE=30°，
∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△OBD是等邊三角形，則OD=BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則弧BD的長(zhǎng)是$\frac{60π×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，正確證明△AEC∽△CED是關(guān)鍵．